正多面体が５種類しかないわけ

 正多面体とは何かをはっきりさせます。同じ正多角形のみでできている多面体と定義しましょう。さらに、同じ点からは同じ数の面が出ている多面体とします。

１、 まず、平面を正３，４，５，６角形で埋めると、図のように６角形までで、７角形以上は埋めることができない。

２、 多面体をつくるには、面が３つ以上必要。しかも、その３つの角の和は３６０度よりも小さくなければならない。

３、 したがって、正六角形は３つの正六角形があるが、それでは平面であり、そこからひとつ取ると面は２つになり、多面体はできない。同様に、７角形や８角形以上もつくることはできない。

４、 ということは、３，４，５角形でしか正多面体をつくることができない。ここから、実際に正多面体を作ってみよう。

５、 最初に、正４角形でつくる。上の図のようにひとつの正方形をとると、３面で組み立てれそう。ここで、面が全部でいくついるかを考えてみる。面の数をｘとすると、点の数は四角形だから４ｘだが、一つの点に３つの面が重なるのだから、３で割って、４ｘ÷３個。辺の数は同じく４ｘだが、ひとつの辺には面が二つ重なるので、４ｘ÷２＝２ｘ個。

６、 ここで、オイラーの多面体定理を思い出そう。「点＋面−辺＝２」だから、上の個数を当てはめると、４ｘ÷３＋ｘ−２ｘ＝２。これを解くと、ｘ＝６となって、６面体ということがわかる。（この説明は実際に作ってみるほうがわかるかも）

７、 次は３角形で多面体をつくってみよう。三角形をひとつ取ると、ひとつの点に５つの面が重なる多面体ができる。この多面体は何面あるのか方程式を作る。面の数をｘとすると、点は三角形だから３ｘ個だけれど、一つの点に５面が重なるので５で割って（３／５）ｘ個ある。また、辺は３ｘ÷２個。オイラーの定理に当てはめると、（３／５）ｘ＋ｘ−（３／２）ｘ＝２となり、これを解くと、ｘ＝２０となり、正２０面体ができる。

８、 こんどは左の写真の右のように三角形を二つ取ると、一つの点に４つの面が重なる多面体ができる。上と同様に方程式を立てて解くと、ｘ＝８で、これが８面体。

９、 さらに三角形を３つ取ると、一つの点から３つの面が出てくる多面体ができる。これが、正４面体。もうこれ以上はとることができない。したがって、３角形でできる正多面体は３種類。

１０、最後に、正５角形を考える。右の図のように組み立てていくと、ひとつの点に３つの面が重なる。これも、オイラーの定理に当てはめると、＋ｘ−（５／（５／３）ｘ２）ｘ＝２でｘ＝１２となる。正１２面体ができる。

１１、以上のように、３種類の正多角形でしか作れず、その中で３角形は３種類しかできないことがわかる。だから、正多面体は５種類しかない。

１２、オイラーの定理についてはまず、平面でやってみて、次に立体で確かめてみてください。平面では、「点＋面−辺＝１」です。